लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक
- धन पूर्णांकों a , b और c के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिये ।
1. ( ab , ac ) का ल. स. = a × ( b , c ) का ल. स.
2. ( ab , ac ) का म. स. = a × ( b , c ) का म. स.
3. ( a , b ) का म.स. < ( a , b ) का ल. स.
4. ( a, b ) का म.स. , ( a , b ) के ल.स. को विभाजित करता है
उपरोक्त कथनों में से कौन से सही है ?
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सुझाव देखें उत्तर देखें चर्चा करें
a , b , तथा c प्राकृतिक संख्यायें हैं ।
1. ( ab , ac ) का ल.स. = abc
a × ( b , c ) का ल.स. = abc
अतः कथन 1 सत्य है ।
2. ( ab , ac ) का म.स. = a × ( b , c ) का म.स.
( ab , ac ) का म.स. = ( ab , ac ) के उभयनिष्ठ गुणनखंड तथा a × ( b , c ) का म.स. = a × ( b , c ) का उभयनिष्ठ गुणनखंड
अतः कथन 2 सत्य है ।
3. ( a , b )का म.स. < ( a , b )का ल.स.
हम जानते है कि म.स. सदैव ल.स. से कम होता है ।
अतः कथन 3 सत्य है ।
4. ( a, b ) का म.स. , ( a , b ) के ल.स. को विभाजित करता है क्योंकि ( a, b ) का उभयनिष्ठ गुणनखंड सदैव a × b को विभाजित करता है |
अतः कथन 4 सत्य है ।
इस प्रकार उपरोक्त सभी कथन सत्य है ।सही विकल्प: D
a , b , तथा c प्राकृतिक संख्यायें हैं ।
I. ( ab , ac ) का ल.स. = abc
a × ( b , c ) का ल.स. = abc
अतः कथन 1 सत्य है ।
II. ( ab , ac ) का म.स. = a × ( b , c ) का म.स.
( ab , ac ) का म.स. = ( ab , ac ) के उभयनिष्ठ गुणनखंड तथा a × ( b , c ) का म.स. = a × ( b , c ) का उभयनिष्ठ गुणनखंड
अतः कथन 2 सत्य है ।
III. ( a , b )का म.स. < ( a , b )का ल.स.
हम जानते है कि म.स. सदैव ल.स. से कम होता है ।
अतः कथन 3 सत्य है ।
IV. ( a, b ) का म.स. , ( a , b ) के ल.स. को विभाजित करता है क्योंकि ( a, b ) का उभयनिष्ठ गुणनखंड सदैव a × b को विभाजित करता है |
अतः कथन 4 सत्य है ।
इस प्रकार उपरोक्त सभी कथन सत्य है ।
अतः विकल्प ( d ) सत्य होगा ।
- ऐसी बड़ी से बड़ी संख्या क्या है , जिससे 130, 305 तथा 245 को भाग देने पर क्रमशः 6 , 9, 17 शेष बचे ?
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सुझाव देखें उत्तर देखें चर्चा करें
दिया है , x = 130, y = 305 , z = 245, a = 6, b = 9, तथा c = 17
∴ अभीष्ट संख्या = x - a = y - b = z - c
सही विकल्प: A
दिया है , x = 130, y = 305 , z = 245, a = 6, b = 9, तथा c = 17
∴ अभीष्ट संख्या = x - a = y - b = z - c
⇒ 130 - 6 = 124
305 - 9 = 296
245 - 17 = 228
अब , ( 124 , 296 व 228 ) का म.स. = 4
∴ अभीष्ट संख्या = 4
अतः बड़ी संख्या 4 होगी ।
- 9, 12, 15, 20 से विभाजित किया जाने पर क्रमशः 7, 10, 13, 18 शेष छोड़ने वाली न्यूनतम संख्या है ?
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सुझाव देखें उत्तर देखें चर्चा करें
दिया है , x = 9, y = 12, z = 15, t = 20 , a = 7 , b = 10 , c = 13 तथा d = 18
∴ k = x - a = y - b = z - c = t - d
भाजक तथा शेषफल का अंतर = k = 9 - 7 = 12 - 10 = 15 - 13 = 20 - 18 = 2सही विकल्प: B
दिया है , x = 9, y = 12, z = 15, t = 20 , a = 7 , b = 10 , c = 13 तथा d = 18
∴ k = x - a = y - b = z - c = t - d
भाजक तथा शेषफल का अंतर = k = 9 - 7 = 12 - 10 = 15 - 13 = 20 - 18 = 2
अब , ( 9 , 12 , 15 व 20 ) का ल.स . = 180
∴ अभीष्ट संख्या = (9 , 12 , 15 व 20 ) का ल.स . - ( k ) शेषफल ( सूत्र से )
= 180 - 2 = 178
अतः न्यूनतम संख्या = 178 होगी ।
- वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है , जिसे यदि 35, 45, 55 से विभाजित किया जाये , तो शेषफल क्रमशः 18 , 28 , 38 प्राप्त हो जायें ?
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सुझाव देखें उत्तर देखें चर्चा करें
यहाँ , x = 35, y = 45 , z = 55
, a = 18 , b = 28 , तथा c = 38
∴ k = x - a = y - b = z - c
सही विकल्प: C
यहाँ , x = 35, y = 45 , z = 55
, a = 18 , b = 28 , तथा c = 38
∴ k = x - a = y - b = z - c
= 35 - 18 = 45 - 28 = 55 - 38 = 17
अब , ( 35 , 45 , 55 ) का ल.स . = 3465
∴ अभीष्ट संख्या = ( 35 , 45 , 55 ) का ल.स . - k ( सूत्र से )
= 3465 - 17 = 3448
अतः सबसे छोटी संख्या = 3448 होगी ।
- वह सबसे बड़ी संख्या कौन सी है , जो 19 , 35 व 59 को विभाजित करने पर एकसमान शेषफल दे ?
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सुझाव देखें उत्तर देखें चर्चा करें
∴ अभीष्ट संख्या = x - y , y - z ,तथा z - x
अभीष्ट संख्या = ( 35 - 19 ) , ( 59 - 35 ) तथा ( 59 - 19 ) का म.स.सही विकल्प: D
∴ अभीष्ट संख्या = x - y , y - z ,तथा z - x
अभीष्ट संख्या = ( 35 - 19 ) , ( 59 - 35 ) तथा ( 59 - 19 ) का म.स.
= 16 , 24 तथा 40 का म.स. = 8
अतः बड़ी संख्या 8 होगी ।
