m = √[ 5 + √5 + √5 + ......... ]
⇒ m² = 5 + m
⇒ m² - m = 5 ........( 1 )
और n = √[ 5 - √5 - √5 - ......... ]
⇒ n² = 5 - n
⇒ n² + n = 5 ..........( 2 )
समी. (1) व (2 ) को घटाने पर

सही विकल्प: B

m = √[ 5 + √5 + √5 + ......... ]
⇒ m² = 5 + m
⇒ m² - m = 5 ........( 1 )
और n = √[ 5 - √5 - √5 - ......... ]
⇒ n² = 5 - n
⇒ n² + n = 5 ..........( 2 )
समी. (1) व (2 ) को घटाने पर
m² - m - n² - n = 0
⇒ m² - n² - m - n = 0
⇒ ( m + n )(m - n ) - ( m + n ) = 0
⇒ ( m + n )( m - n - 1 ) = 0
∵ ( m + n ) ≠ 0
∴ ( m - n - 1 ) = 0
अतः इसका मान ( m - n - 1 ) = 0 होगा ।

चूँकि प्रश्न में दिए गए विकल्पों के मान रखने पर जो विकल्प प्रश्न की स्थिति को संतुष्ट करता है उसी विकल्प का मान सत्य होगा । इस प्रकार हमें केवल विकल्प के मान ( 3 , 2 ) प्राप्त होते हैं जोकि इस प्रश्न का सही उत्तर है ।अतः विकल्प ( c ) सत्य होगा ।

सही विकल्प: C

चूँकि प्रश्न में दिए गए विकल्पों के मान रखने पर जो विकल्प प्रश्न की स्थिति को संतुष्ट करता है उसी विकल्प का मान सत्य होगा । इस प्रकार हमें केवल विकल्प के मान ( 3 , 2 ) प्राप्त होते हैं जोकि इस प्रश्न का सही उत्तर है ।अतः विकल्प ( c ) सत्य होगा ।
अतः p = 3 तथा q = 2 होगा ।

ट्रिक : - इस प्रकार के प्रश्न में , किसी संख्या के करणी को अनंत बार गुणा किया जाये तो
गुणनफल = दी हुई संख्या
∴ √a √a √a .........∞ = a

सही विकल्प: A

ट्रिक : - इस प्रकार के प्रश्न में , किसी संख्या के करणी को अनंत बार गुणा किया जाये तो
गुणनफल = दी हुई संख्या
∴ √a√a √a .........∞ = a
∴ √9 √9 √9 .........∞ = 9

वैकल्पिक विधि
माना S = √9 √9 √9 .........∞
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ S² = 9S
⇒ S² -9S = 0
⇒ S( S - 9 ) = 0
⇒ S - 9 = 0
⇒ S = 9
∴ अभीष्ट उत्तर = 9

इस प्रश्न का प्रथम अंक वर्गमूल है जिसका मान 1 होता है।
उसके बाद इसमें √[ 1 + √1 + √1 + ......... ] इत्यादि जोड़ा गया है। चूँकि प्रत्येक वर्गमूल ठीक पहले वाले वर्गमूल के अंदर है।
अतः इस प्रश्न का उत्तर 1से थोड़ा अधिक होगा अर्थात 1 से 2 के बीच में।

वैकल्पिक विधि
माना √[ 1 - √1 - √1 - ...... ] = A
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ 1 - A = A²
⇒ A² + A - 1 = 0
⇒ A² + A = 1
⇒ A( A + 1 ) = 1

सही विकल्प: C

इस प्रश्न का प्रथम अंक वर्गमूल है जिसका मान 1 होता है।
उसके बाद इसमें √[ 1 + √1 + √1 + ......... ] इत्यादि जोड़ा गया है। चूँकि प्रत्येक वर्गमूल ठीक पहले वाले वर्गमूल के अंदर है।
अतः इस प्रश्न का उत्तर 1 से थोड़ा अधिक होगा अर्थात 1 से 2के बीच में।
अतः इसका विकल्प ( c ) सही उत्तर होगा।

वैकल्पिक विधि
माना √[ 1 + √1 + √1 + ...... ] = A
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ 1 + A = A²
⇒ A² - A - 1 = 0
⇒ A² - A = 1
⇒ A( A - 1 ) = 1

अतः इस प्रश्न का उत्तर 1 से थोड़ा अधिक होगा अर्थात 1 से 2के बीच में।
अतः इसका विकल्प ( c ) सही उत्तर होगा।

( 6² + 7² + 8² + 9² + 10² )/[ √( 7 + 4√3 ) - √( 4 + 2√3 ) ] = ( 36 + 49 + 64 + 81 + 100 )/[ √{ 2² +( √3 )² + 2 × 2√3 } - √{ ( √3 )² + ( 1 )² + 2 × 1 × √3 } ]
= 330/[ √( 2 + √3 )² - √( √3 + 1)² ]
= 330/[ 2 + √3 - √3 - 1 ] = 330

सही विकल्प: D

( 6² + 7² + 8² + 9² + 10² )/[ √( 7 + 4√3 ) - √( 4 + 2√3 ) ] = ( 36 + 49 + 64 + 81 + 100 )/[ √{ 2² +( √3 )² + 2 × 2√3 } - √{ ( √3 )² + ( 1 )² + 2 × 1 × √3 } ]
= 330/[ √( 2 + √3 )² - √( √3 + 1)² ]
= 330/[ 2 + √3 - √3 - 1 ] = 330
∴ ( 6² + 7² + 8² + 9² + 10² )/[ √( 7 + 4√3 ) - √( 4 + 2√3 ) ] = 330