ट्रिक : - इस प्रकार के प्रश्न में , किसी संख्या के करणी को अनंत बार गुणा किया जाये तो
गुणनफल = दी हुई संख्या
∴ √a √a √a .........∞ = a

सही विकल्प: A

ट्रिक : - इस प्रकार के प्रश्न में , किसी संख्या के करणी को अनंत बार गुणा किया जाये तो
गुणनफल = दी हुई संख्या
∴ √a√a √a .........∞ = a
∴ √9 √9 √9 .........∞ = 9

वैकल्पिक विधि
माना S = √9 √9 √9 .........∞
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ S² = 9S
⇒ S² -9S = 0
⇒ S( S - 9 ) = 0
⇒ S - 9 = 0
⇒ S = 9
∴ अभीष्ट उत्तर = 9

चूँकि प्रश्न में दिए गए विकल्पों के मान रखने पर जो विकल्प प्रश्न की स्थिति को संतुष्ट करता है उसी विकल्प का मान सत्य होगा । इस प्रकार हमें केवल विकल्प के मान ( 3 , 2 ) प्राप्त होते हैं जोकि इस प्रश्न का सही उत्तर है ।अतः विकल्प ( c ) सत्य होगा ।

सही विकल्प: C

चूँकि प्रश्न में दिए गए विकल्पों के मान रखने पर जो विकल्प प्रश्न की स्थिति को संतुष्ट करता है उसी विकल्प का मान सत्य होगा । इस प्रकार हमें केवल विकल्प के मान ( 3 , 2 ) प्राप्त होते हैं जोकि इस प्रश्न का सही उत्तर है ।अतः विकल्प ( c ) सत्य होगा ।
अतः p = 3 तथा q = 2 होगा ।

∵ √[ 12 - √12 - √12 - ...... ] = ?
∴ 12 का गुणनखंड = 4 × 3
ट्रिक :-यदि इस प्रकार के प्रश्न में ( - ) चिन्ह दिया गया हो तो हम इसमें दी गई संख्या के गुणनखंड में जो छोटा गुणांक हो उस मान को ही लेते हैं । इसलिए इसमें के गुणनखंड का छोटा अंक ही इसका उत्तर होगा । दो ऐसे अंक जिनमे 1 का अंतर हो तथा गुणनफल 12 हो , 3 व 4 हैं। अतः छोटा अंक 3 उत्तर होगा।

वैकल्पिक विधि
माना √[ 12 - √12 - √12 - ...... ] = x
दोनों ओर वर्ग करने पर

सही विकल्प: B

∵ √[ 12 - √12 - √12 - ...... ] = ?
∴ 12 का गुणनखंड = 4 × 3
ट्रिक :-यदि इस प्रकार के प्रश्न में ( - ) चिन्ह दिया गया हो तो हम इसमें दी गई संख्या के गुणनखंड में जो छोटा गुणांक हो उस मान को ही लेते हैं । इसलिए इसमें के गुणनखंड का छोटा अंक ही इसका उत्तर होगा । दो ऐसे अंक जिनमे 1 का अंतर हो तथा गुणनफल 12 हो , 3 व 4 हैं। अतः छोटा अंक 3 उत्तर होगा।

वैकल्पिक विधि
माना √[ 12 - √12 - √12 - ...... ] = x
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ 12 - x = x²
⇒ x² + x - 12 = 0
⇒ x² + 4x - 3x - 12 = 0
⇒ x( x + 4 ) - 3( x + 4 ) = 0
⇒ ( x + 4 )( x - 3 ) = 0
⇒ x = 3 , -4 (ऋणात्मक मान संभव नहीं है )
∴ अभीष्ट उत्तर = 3

ट्रिक : - इस प्रकार के प्रश्न में ,यदि करणी अनंत बार न लिखी हो ,तब
√a √a √a √a √a .........n पदों तक = a [ (^{2n - 1})/2ⁿ ] जहाँ n कोई पूर्णांक है ) ( जहाँ a कोई पूर्णांक है )

सही विकल्प: B

ट्रिक : - इस प्रकार के प्रश्न में ,यदि करणी अनंत बार न लिखी हो ,तब
√a √a √a √a √a .........n पदों तक = a[ ( ^{2n - 1})/2ⁿ ] ( जहाँ a कोई पूर्णांक है )
√6 √6 √6 √6 √6 ......... = 6[ ( ^{25 - 1})/2⁵ ] (∴ n = 5 )
= 6^{( 32 -1 )/32} = 6^31/32
∴ अभीष्ट उत्तर = 6^31/32

∵ √[ 56 + √56 + √56 + ......... ] ÷ 2² = ?
ट्रिक :- यदि इस प्रकार के प्रश्न में ( + ) चिन्ह दिया गया हो तो हम इसमें दी गई संख्या के गुणनखंड में जो बड़ा गुणांक हो उस मान को ही लेते हैं । इसलिए इसमें 72के गुणनखंड का बड़ा अंक 8 ही इसका उत्तर होगा ।
चूँकि दिए गए व्यंजक के एक पद √[ 56 + √56 + √56 + ......... ] के दो गुणनखंड 7 × ( 7 + 1 ) क्रमिक रूप में हैं। ।


वैकल्पिक विधि
माना √[ 56 + √56 + √56 _ ...... ] = A
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ 56 + A = A²

सही विकल्प: C

∵ √[ 56 + √56 + √56 + ......... ] ÷ 2² = ?
ट्रिक :- यदि इस प्रकार के प्रश्न में ( + ) चिन्ह दिया गया हो तो हम इसमें दी गई संख्या के गुणनखंड में जो बड़ा गुणांक हो उस मान को ही लेते हैं । इसलिए इसमें 72के गुणनखंड का बड़ा अंक 8 ही इसका उत्तर होगा ।
चूँकि दिए गए व्यंजक के एक पद √[ 56 + √56 + √56 + ......... ] के दो गुणनखंड 7 × ( 7 + 1 ) क्रमिक रूप में हैं।
अतः व्यंजक का अभीष्ट मान 8 ÷ 2² = 2 होगा।

वैकल्पिक विधि
माना √[ 56 + √56 + √56 _ ...... ] = A
दोनों ओर वर्ग करने पर
⇒ 56 + A = A²
⇒ A² - A - 56= 0
⇒ A² + 7A - 8A - 56 = 0
⇒ A( A + 7 ) - 8( A + 7 ) = 0
⇒ ( A + 7 )( A - 8 ) = 0
⇒ A = 8 , - 7 (ऋणात्मक मान संभव नहीं है )

अतः व्यंजक का अभीष्ट मान 8 ÷ 2² = 2 होगा।